Математична скринька

Професор виконав «пантоміму»

У 1903 році професор Коул повідомив про своє відкриття в дуже цікавий спосіб. На засіданні математичного товариства в Нью-Йорку професор підійшов до дошки й мовчки спочатку перемножив числа 761 838 257 287 та 193 707 721, а потім обчислив значення виразу 2⁶⁷ – 1 й, відзначивши збіг результатів, без жодного слова повернувся під бурхливі оплески на своє місце.

Так Коул спростував гіпотезу про те, що число 2⁶⁷ – 1 є простим. На запитання, скільки часу він витратив на пошуки доказів, Коул відповів: «Усі неділі впродовж трьох років».

Цікаво, що число 2⁶⁷ – 1, яке вважали складеним, виявилось простим числом. Це було доведено в 1933 р.

Із книги математика Д. Пойа «Математичне відкриття»

Оглянувши хворого, лікар, насупившись, сказав: «О, у вас дуже серйозна хвороба. Із десяти хворих на неї дев'ять зазвичай помирають».

Хворий, ясна річ, засмутився. «Але вам пощастило,— додав лікар,— дев'ять пацієнтів із цією хворобою в мене вже померли. Радійте: ви — той десятий, який обов'язково виживе!»

Жарт про осьову симетрію

Якось один чужоземець, вражений красою славнозвісного бухарського мінарету Калян, вигукнув: «Як ви будуєте такі високі мінаре­ти?» — «Дуже просто»,— відповів Ходжа Насреддін. І, хизуючись своєю дотепністю, пояснив: «Спочатку викопуємо глибокий колодязь, а потім вивертаємо його навиворіт».

Задачі-жарти, задачі-загадки

1. Поділіть 5 яблук між п'ятьма особами так, щоб кожна отримала по яблуку, а одне залишилося в кошику.
2. Збільшіть число 666 у півтора рази, не виконуючи над ним жодних арифметичних дій.
3. Двома ударами сокири розрубайте підкову на шість частин, не переміщаючи частин після удару.
4. У кімнаті чотири кути. У кожному куті сидить кіт. Навпроти кожного кота — по три коти. На хвості кожного кота — по одному коту. Скільки всього котів у кімнаті?
5.  Два козаки часто сперечалися, хто кого обжене. Але перемагав то один, то другий. І врешті-решт їм це набридло. Тоді один із них запропонував інакший спір. Нехай переможе той, чий кінь дістанеться призначеного місця другим, а не першим. Козаки виїхали в степ. Один із глядачів почав рахувати, плескаючи в долоні:

— Один!.. Два!.. Три!..

Проте жоден із козаків так і не зрушив з місця. Глядачі почали сміятися й вирішили, що такий спір неможливий, оскільки козаки простоять на місці, як-то кажуть, довіку. Але тут до юрби підійшов дідусь і сказав: «Я їм зараз прошепочу таке слово, що вони полетять, як ошпарені...».

Так і сталося... Дідусь сказав щось козакам, а за півхвилини ті вже стрімголов мчали вперед, намагаючись будь-що випередити один одного, проте умови спору не змінилися: виграє той, чий кінь прийде другим. Що саме сказав дідусь?

Веселі головоломки

1. Якби завтрашній день був учорашнім, то до неділі залишилося б стільки днів, скільки днів пройшло від неділі до вчорашнього дня. Який сьогодні день?
2.                                  Важать Пат та ще й щеня

Як порожніх два відра.

А щеня, що без хлопчиська,

Важить дві великі книжки.

Порося і книжка разом —

Як відро, скажу вам зразу.

Скільки важить хлопчик Пат?

Полічи-но поросят!

3. Котра зараз година, якщо частина доби, що залишилася, удвічі більша за ту, що минула?
4.                                  Я ріс один у цілім світі,

І все це правда — я один.

Та син того, хто на портреті,

Це батька мого син.

Кого зображено на портреті?

6. Ішов собі чоловік із дружиною та брат із сестрою. Вони несли три яблука й поділили їх порівну. Скільки було людей?
7. Господар запропонував робітникові таке випробування:

— Ось тобі бочка, наповни її водою рівно наполовину. Але палицею й мотузкою для вимірювання не користуйся. Працівник упорався із цим завданням. А ви?

Стародавні задачі

1. Кажуть, що на запитання про те, скільки в нього учнів, давньогрецький математик Піфагор відповів так: «Половина моїх учнів вивчає математику, четверта частина вивчає природу, сьома частина весь час мовчки міркує, а решта — це три діви». Скільки учнів було в Піфагора?
2. Летіла зграя гусаків, а назустріч їм іще один гусак. Гусак їм і каже: «Вітаю вас, сто гусаків». А гусаки відповідають: «Нас не сто, а менше. Якби нас було стільки, та ще стільки, та ще по стільки, та ще чверть стільки, та ще й ти, гусаче, отоді б нас було сто гусаків». То скільки ж гусаків є в зграї?

Логічна розминка

Два міста розташовані так близько, що городяни ходять одне о одного в гості. Мешканці міста А завжди говорять правду. Мешканці міста Б завжди брешуть. Яке запитання має поставити подорожній перехожому, щоб визначити, до якого міста він потрапив?

Математика слугує людям

1. Математика допомагає відкривати не лише невідомі планети, а й невідомі острови. Саме так славетний дослідник П. О. Кропоткін (1842 – 1921), вивчаючи матеріали про рух течій і крижин у Північному Льодовитому океані, дійшов висновку, що на широті, більшій за ту, на якій розташовано архіпелаг Шпіцберген, має існувати невідома земля. І саме вона обмежує потрапляння крижин із центрального полярного басейну до Баренцового моря. Згодом австрійська полярна експедиція справді відкрила в цьому місці великий архіпелаг, який назвали Землею Франца-Йосифа.

2. Походження життя – це та загадка, відгадавши яку, людство б пояснило одну з найскладніших саморегулюючих систем. Ось як за допомогою математики задаються її характеристики.

Організм людини складається із 10¹⁷ клітин, її мозок містить 10³⁰ елементарних частинок, 10 млрд. її клітин забезпечують приблизно 2^10000000000 різних станів, а кількість зв'язків між нейронами лише однієї тисячної частини мозку становить 2²⁷⁸³⁰⁰. Загальна довжина кровоносних судин становить 100000 км. Кожний еритроцит містить близько 270 000 000 одиниць гемоглобіну тощо.

3. У 1781 році було відкрито планету Уран. Спостереження за рухом цієї планети наприкінці XVIII — початку XIX століття довели, що він трохи відрізняється від математично перед­бачуваного руху. Пояснити цю відмінність можна було лише впливом на Уран досі невідомої планети, яка перебуває ще далі від Сонця. І ось французький учений Леверьє (1811 – 1877), ураховуючи відхилення в русі Урана, логічно міркуючи й вико­навши доволі складні обчислення, знайшов місце цієї планети на небі. І справді, у зазначеній Леверьє ділянці неба 23 вересня 1846 року астроном Галлі знайшов нову планету, яку назвали Нептун. Так само було відкрито й дев'яту планету, названу Плутоном.

Легенда про шахівницю

Шахи було вигадано в Індії, і коли індуський цар Шерам побачив їх, то був вражений тим, яка це розумна гра. Дізнавшись, що їх винайшов один із його підлеглих, цар наказав покликати його, щоб особисто нагородити за такий вдалий винахід.

Винахідник, якого звали Сету, прийшов до трону володаря.

— Я хочу гідно тебе винагородити, Сету, за чудову гру,— сказав цар.— Я достатньо багатий, щоб виконати твоє найсміливіше бажання.

— Доброта твоя безмежна, володарю, але дай мені час подумати над відповіддю.

А коли Сету наступного дня знову з'явився до трону, то скромність його дуже вразила царя.

—  Володарю,— сказав Сету,— накажи видати мені за першу клітину шахівниці одне пшеничне зернятко.

— Звичайне пшеничне зернятко? — здивувався цар.

— Так. За другу клітинку — 2 зернятка, за третю — 4, за четверту — 8, за п'яту — 16, за шосту — 32...

— Годі,— роздратовано перебив його цар.— Ти отримаєш свої зернятка за всі 64 клітинки!

Наступного дня цар поцікавився, чи отримав Сету свою винагороду. Але з'ясувалося, що в усіх коморах царства немає такої кількості зерен. Нема й на всій Землі. І якби навіть цар наказав обернути всі землі царства на поля, висушити моря й океани, розтопити сніги й кригу, що вкривають північні пустелі, а весь цей простір засіяти пшеницею, то все, що зійшло б на цих полях, потрібно було б віддати Сету.

— Скажіть мені це дивовижне число,— попрохав цар.

— Вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот сорок чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев'ять мільйонів п'ятсот п'ятдесят одна тисяча шістсот п'ятнадцять, о володарю!

Швидке розмноження

Стигла макова голівка містить у собі купу маленьких зерняток: із кожного може вирости ціла рослина. Скільки буде маків, якщо проростуть усі до одного зернятка?

Одна голівка маку містить близько 3000 зерняток. Що звідси випливає? А, власне, те, що якби довкола макової рослини було достатньо придатної землі, то кожне зернятко проросло б, і наступного літа на цьому місці було б уже 3000 маків. Це ціле макове поле від однієї голівки!

Ідемо далі. Кожна з 3000 рослин дасть не менше за одну голівку, що міститиме 3000 зерен. Прорісши, насіння кожної голівки дає 3000 нових рослин, і на другий рік у нас буде не менше; ніж 9 000 000 рослин. Дуже легко розрахувати, що на третій рік кількість нащадків одного маку становитиме вже 27 000 000 000. А на четвертий рік — 81 000 000 000 000. На п'ятому році макові стане затісно на земній кулі, бо кількість рослин дорівнюватиме 243 000 000 000 000 000, тим часом як поверхня суходолу становить лише 135 млн. квадратних кілометрів — це приблизно в 2000 разів менше за кількість екземплярів маку.

Таким чином, якби всі зернятка маку проростали, то потомство однієї рослини могло б за п'ять років укрити весь суходіл земної кулі густими заростями по дві тисячі рослин на кожному квадратному метрі.

Тепер ви знаєте, який числовий велетень ховається в крихітному маковому зернятку!