ПЕРВІСНА, 11 клас

Алгебра, 11 клас

ПЕРВІСНА. ТАБЛИЦЯ ПЕРВІСНИХ

Мета уроку:

• дати  означення  первісної,  розглянути  основну властивість первісної, геометричний зміст, таблицю первісних.
• розвивати логічне мислення учнів, вміння аналізувати, співставляти нові дані з вивченим на попередніх уроках;
• виховувати спостережливість, кмітливість, старанність, культуру усного та письмово математичного мовлення.

Обладнання: картки для опитування учнів, різнокольорові коробки, таблиці похідних та первісних, шаблон параболи.

ХІД УРОКУ

І. Вступне слово вчителя

Добрий день! Сьогодні я ще й кур'єр. На уроці вам треба відкрити цей «чорний ящик», дізнатися про його зміст. Для цього треба отримати доступ - розв'язати наступні завдання.

II. Актуалізація опорних знань учнів з попередніх тем

1. Один з учнів класу розв'язує завдання на дошці.

1. Побудуйте  графіки функцій (за допомогою шаблону) в одній системі  координат:

у = х²,      у =х² + 3,     у = х² – 4.

1. Знайдіть похідну кожної функції та порівняйте їх.

2. Всі інші учні працюють усно з учителем.

На дошці розміщено таблицю похідних елементарних функцій, другий стовпчик якої вам треба відновити.

Запитання:

1. Чому дорівнює похідна х?
2. Чому дорівнює похідна ?
3. Чому дорівнює похідна (2х)?
4. Чому дорівнює похідна sin х?
5. Чому дорівнює похідна (-ctg x)?

3. Аналіз відповіді учня, який працював біля дошки.

Очікуваний висновок: похідні цих функцій рівні. Графіки утворюються один із одного паралельним перенесенням уздовж осі ОХ.

Молодці, ви виконали завдання. Відкриваємо «чорний ящик». Нам пропонують вивчити нову тему «Первісна та таблиця первісних».

План

1. Означення.
2. Основна властивість первісної.
3. Геометричний зміст.
4. Таблиця первісних.

ІІІ. Пояснення нової теми

Зазначимо, що кожна операція, яку ви вивчали у шкільному курсі, має обернену: додавання – віднімання, множення – ділення, піднесення до степеня – добування кореня та інше.

Основною операцією диференціального числення є знаходження похідної даної функції. Проте інколи буває навпаки, – за відомою похідною треба знайти (відновити) саму функцію, – операція інтегрування.

У фізиці трапляються задачі: відомо прискорення, треба знайти закон руху. Ще М. Ломоносов зазначив: «Фізик сліпий без математики», – тож на допомогу приходять знання математики: необхідність інтегрування функції.

Означення первісної. (Учні самостійно вивчають за підручником, с. 118.)

Приклад. Чи є первісною функція F(x) = –x³ для функції f(x) = x² на проміжку (–∞; +∞)?

Чи існує ще функція, похідна якої дорівнює х² ? Так,

F(x) = –x³ +с.

Основна властивість первісної. Якщо функція F(x) – первісна для функції f(х) на заданому проміжку, то F(x)+c, де с – стала, також є первісною для функції f(x).

Загальний вигляд первісних: F(x)+c.

Завдання. Накресліть схематично графіки функцій

у(х) = х³,               у(х) = х³ + 2,               у(х) = х³ – 1.

Давайте за допомогою таблиці похідних складемо таблицю первісних.

Таблиця первісних

Запитання

1.   Заповніть пропуски:

Функція F(x) називається __________ на заданому _________, для функції f(х), якщо для всіх __________ із цього проміжку __________ = __________.

2. Знайдіть 4 первісних для функції f(х) = 3. Зробіть висновок.

1. . Тому одна з первісних F(x) = __________.
2. . Тому ще одна з первісних F(x) = __________.
3. . Тому ще одна з первісних F(x) = __________.
4. . Тому ще одна з первісних F(x) = __________.

3. Робота з таблицею.

IV. Розв'язування завдань за темою

Молодці! У чорному ящику ми з Вами бачимо срібний. Щоб розкрити його, треба вміти розв'язувати завдання:

1. Довести, що F(x) є первісною функції f(x) на заданому проміжку.

2. Перевірити, що F(х) є первісною функції f(x) на заданому проміжку.

3. Знайти загальний вид первісних.

1) Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку:

а) F(x) = x⁵, f(х)=5х⁴, х є (–∞; +∞);

б) F(x) = sin 3x, f(x) = 3cos 3x, x є R.

2) Чи є функція F(x) первісною для функції f(х) на проміжку:

а) F(х) = cos x – 4, f(x) = –sin x, х є R;

б) F(х) = 5 – х⁴, f(х) = –4х³, х є (–∞; +∞)?

3) Знайдіть загальний вигляд первісних для функції f(х) на R:

а) f(х) = 2х;

б) f(x) = sin x.

V. Мотивація навчання

Ми добре попрацювали, отже, нагорода – золота скарбничка. Всі знання і навички, яких ви набули, можна застосовувати в незвичайних ситуаціях. Ще Фарадей казав, що «не можна прогнозувати майбутню користь від немовляти», – це була відповідь на зауваження щодо його робіт. Прочитаємо задачу із золотої скарбнички (робота на перспективу).

Об'єм продажу магазину змінюється зі швидкістю

q(t) = –3t² + 300t,

t — кількість днів, після закінчення рекламної кампанії (t ≤ 30). Знайти об'єм продажу Q, за перші два дні після закінчення рекламної кампанії, якщо Q(0) = 500.

VI. Підсумки уроку.

Все, що ми з Вами сьогодні вивчали, – це тільки перші кроки вивчення цієї теми. Наша діяльність – вивчення теоретичного матеріалу, розв'язування завдань, спрямована на успішність.

VII. Домашнє завдання

§21, с. 118, № 54(1,2, 3), № 56 (1–4), с. 126.